PRESENTATION DU PROGRAMME L'exécutable "Minum" téléchargeable permet l'observation en une seule figure le graphe de toutes les fractions des nombres inférieurs à 3000, dans toutes les bases, fussent-elles infinies. Prenons l’exemple du nombre 21 et regardons comment il peut être représenté graphiquement lors de la division par 21 d’un nombre quelconque (que l’on appelle dividende). Au premier démarrage le programme (qui s’éteint en appuyant deux fois sur la touche ) affiche le nombre et la base fixés dans son fichier de configuration (Minum.ini aux rubriques Nombre=21 et Base=10 qui seront traités dans l’exemple ci-dessous). On trouve en haut à gauche à la première ligne, en orange, le nombre dont on va découvrir les graphes des dividendes. A la deuxième, en jaune ; on trouve « non premier » sinon, la décomposition en facteurs premier de p-1. A la troisième, en orange, on trouve la base 10 pour simplifier. A la quatrième on trouve la décomposition en facteurs premiers de la base soit pour 10, 5*2. Le programme compte ensuite les périodes primaires : soit deux période de 1 (7 /21 et 14/21). Et les trois périodes primaires de 1/21, 3/21 et 5/21 en base 10, qui comportent chacune 6 chiffres sur toute leur longueur et la décomposition de 6 en facteurs premiers c’est-à-dire 2*3. On a 3 périodes de 6 chiffres, tous distincts et 2 d’un chiffre ; le total est donc 3*6=18 et 2*1=2, 18+2 = 20 comme total des longueurs des périodes de tous les dividendes primaires. Ce nombre 20 est maximal pour n/21 on le trouve dans la barre de niveau en haut à droite de l’écran, et plus bas la valeur numérique de cette barre de niveau. Si l’on n'a touché à rien, figure seulement un tableau à droite qui contient deux colonnes : Celle du dividende à choisir et celle de la longueur de la période obtenue. En utilisant ce dividende 1 en base 10 on obtient les dividendes secondaires 4, 10, 13, 16 et 19 dont la même période comporte 6 chiffres. Choisissez donc le dividende « 1 » d’un double-clic de souris sur la colonne des dividendes. Auparavant si vous avez déjà modifié le nombre et la base, tapez « n21 « et « b10 » pour les initialiser conformément à cet exemple. Nous avons isolé graphiquement par un savant coloriage (en jaune) le dividende voulu (1) appelé dividende principal, ainsi que les dividendes secondaires, 4, 10,13,16 et 19 qui apparaissent dans le tableau à gauche de votre écran. Tous ces dividendes secondaires partagent le même graphe de 1/21. En réalité, deux tableaux vont s’afficher à gauche, par commodité. Appelons les provisoirement celui de gauche et celui de droite1. Celui de gauche contiendra les dividendes secondaires, appartenant au même graphe jaune. Le tableau de droite1 contiendra les détails du calcul pour la période choisie. Il est partagé en deux colonnes : détails des calculs toutes les deux lignes et chiffres exprimés par une formule de type A +NB où N varie de zéro à l’infini; par exemple pour 1/21 ou 4/21,10/21, 13/21, 16/21 et 19/21 en base 10 le graphe trouve les formules : (0+1n),(4+10n),(7+16n),(6+13n),(1+4n),(9+19n) repérables dans le graphique en jaune et suivent l’ordre (même s’il est changeant, l’ordre est respecté) dans la colonne de droite du tableau de droite1. En résumé, un double-clic sur un dividende secondaire du tableau de gauche fera s’afficher les détails pour ce dividende secondaire. Vous pouvez alors vous amuser à suivre dans la colonne de droite du tableau de droite1 des formules du chiffre de la période choisie pour la retrouver sur le graphe. En lisant la colonne de droite du tableau des formules on verra de haut en bas et dans le même ordre les formules à retrouver sur l’écran principal, disposées arbitrairement dans le sens des aiguilles d’une montre. Comme on a choisi le graphe de 1/21 en base 10 on obtient, en jaune, les 6 chiffres suivants: (0+1n), 4+10n),(7+16n),(6+13n),(1+4n),(9+19n). On retrouve la même période pour les dividendes secondaires 4/21, 10/21, 13/21, 16/21 et 19/21, qui génèrent le même graphe en décalant les chiffres d’un ou plusieurs crans. Le chiffre 9+19n étant caché par les détails du calcul, vous pouvez utiliser la souris pour changer la place des deux tableaux de gauche car ils empiètent un petit peu sur la figure, et ça fait mal. Pour éviter l’enchevêtrement des graphes primaires et effacer les deux tableaux de gauche vous pouvez les effacer avec la touche <*>. Une deuxième pression sur cette touche vous permettra, si vous voulez vous reposer sur une figure, d’effacer le tableau des dividendes primaires. Enfin une troisième pression sur <*> restaurera le tableau des dividendes primaires. Il est temps maintenant pour vous d’essayer toutes ces combinaisons faisant continument varier le nombre avec les flèches curseur et ainsi que la base et . On peut aussi appuyer sur la touche en même temps que , , et pour n’obtenir que des périodes uniques pour des nombre exclusivement premiers. Plus rapidement vous pouvez, si vous le voulez, taper n7 pour constater que le graphe de 3/21 est similaire (aux formules près) au graphe de 1/7 ce qui est normal car 3/21 est égal à 1/7. Mais tapez plutôt n37 pour observer les 12 triangles de n/37 en base 10. Il y a douze triangles de trois cotés et 3*12=36=nombre-1=37*-1=n-1. Cela veut dire que la totalité des (n -1) dividendes est visitée et la résonnance de 37 en base 10 est maximale ; cela est normal car il est premier. Vous pouvez alors calculer l’inverse de la base 10 c’est-à-dire le nombre qu’il faut multiplier par 10 pour que le résultat de la division par 37 donne 1. C’est-à-dire 26*10= 260 = 7*37+1. Vous pouvez encore rester sur 21 (Tapez n21) puis sur Q, en double cliquant sur la première colonne (8 ou 13), Vous obtenez la liste des carrés pour le nombre 21, c’est à la dire les bases qui, multipliées par elles-mêmes, valent 1, et se représentent graphiquement d’une façon très simple. En fonction du nombre, il peut ne pas y avoir de solution à l’équation base élevée au carré égal un. Le programme affiche alors : « pas de carré trouvé ». Essayez de calculer les 12 sortes de périodes de 4000 en base 21. On obtient 19 périodes à un chiffre, 8 de 200 chiffres, 8 de 40, 8 de 50 etc. douze en tout et même 2 périodes de 2. Voilà c’est terminé, vous savez utiliser l’Euclidoscope, il me reste à me retirer en vous laissant méditer sur 211 en base 24 (n211b24). Faites-vous des collections de vos meilleures trouvailles avant de les faire imprimer (tee-shirt, pin’s, nappe, vaisselle, etc.) En résumé Les flêches curseurs ou font varier le dénominateur Les flêches curseurs ou font varier la base + FLECHES CURSEUR explorent les premiers et leurs périodes uniques La touche affiche un nombre et une base aléatoire. La touche est un générateur automatique de graphes aléatoires (toutes les 5 seconde) permet d'entrer une base permet d'entrer un nombre (dénominateur) calcule et affiche la base inverse si elle existe fait apparaitre la célèbre série pour la base 10 avec 1/109 et 1/89. permet de visualiser des carrés, c'est à dire une base b telle que b au carré vaut 1. permet d'afficher la longueur des périodes pour toutes les bases en fonction d' un nombre donné 2 fois la touche permet de quitter le programme