Euclidoscope

Mode d'emploi, trucs et astuces.

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L'euclidoscope est un outil servant à observer un nombre dans n'importe quelle base. Même si ses capacités de calcul sont puissantes eût égard à la rapidité de votre machine, l'interface se veut simple et intuitive.

En premier lieu, il est rassurant de savoir que l'on peut quitter le programme à tout moment en pressant une ou deux fois (selon le mode choisi: "Standard" ou "Panorama") sur la touche <Esc> ou <Echap> située en haut à gauche de votre clavier. L'appui sur la lettre "<H>" (pour help) affiche un aide-mémoire du mode d'emploi ci-dessous.

PRISE EN MAIN

Lorsque le programme euclidoscope affiche un nombre dans une base donnée (ce qui est son mode "Standard" de fonctionnement au lancement), l'appui sur les touches du clavier <HAUT> et <BAS> fait varier le nombre en continu. Il passe alors au nombre immédiatement supérieur ou inférieur, sans changer la base. Cela est utile si l'utilisateur ne veut étudier qu'une base donnée.

A l'inverse, si l'on ne veut étudier qu'un seul nombre n dans toutes ses bases, les touches <DROITE> et <GAUCHE> visiteront, pour ce nombre, l'ensemble des bases de 2 à n+1 (c'est à dire toutes: les congruences font que tout recommence à partir de n+2, kn+2, etc.). Pour des raisons de rapidité, le programme n'attend pas la fin du traçage pour vous rendre la main. Vous pouvez donc appuyer sur ces touches en continu. Le nombre et la base sont notés en haut à gauche de l'écran.

PANORAMA

Toujours dans l'optique de l'étude d'un nombre dans toutes ses bases, l'appui sur la touche <Fin> passe au deuxième mode de fonctionnement, dont on sort avec <Echap> ou <Entrée>. L'euclidoscope vous fournira alors un panorama complet du nombre n choisi au travers des bases de 2 à n+1.

Pour les nombres non premiers, il affichera la somme de toutes les périodes, et les flèches clavier permettrons d'afficher les principales caractéristiques des relations nombre/bases (décomposition en facteur premier, jauge et calcul de la somme de toutes les périodes, affichage d'un inverse de la base modulo n si celui-ci existe, etc.). Il notera également (en marron/orange) les bases étant leur propre inverse modulo le nombre (3*3 admet 1 pour reste dans la division par 4, et 801*801 aussi modulo 2005).

Lorsque le nombre est premier, il mettra en valeur (une droite par base) les bases générant une période unique, calculera à quelle puissance modulo p il faut élever la graine pour obtenir cette base ou notera particulièrement (en blanc) les bases qui sont en même temps des multiples entiers de p-1. Il calculera aussi l'abondance de p.

La touche "<I>" (comme Icare) n'est pas documentée, mais elle permet de passer d'un nombre à son inverse et réciproquement, à condition bien sûr que celui-ci existe. Elle permet de mieux comprendre la fonction du petit trait énervant qui semble se déplacer au hasard, alors que le deuxième répond correctement aux injonctions de <DROITE> ou <GAUCHE>, il parcours alors cercle des bases de 2 à n+1 dans le sens des aiguilles d'une montre (Droite) ou dans le sens inverse.

Ce mode panorama permet donc de viser précisément une base donnée dans le contexte du nombre à étudier.

ASTUCES

Si vous ne vous intéressez qu'aux seuls nombres premiers, l'appui simultané sur <Alt><HAUT> ou <Alt><BAS> vous aiguillera automatiquement sur le nombre premier supérieur ou inférieur le plus proche, sans changer la base (sauf si elle devient plus grande que le nombre).

Si, comme moi pendant des années, vous privilégiez les bases à périodes uniques au sein des premiers, les touches <Alt><GAUCHE> ou <Alt><DROITE> limiteront la recherche à celles-ci. Une ancienne version faisait intervenir pour cela une (volumineuse) table des bases concernées. Aujourd'hui, foin de table, la vitesse des machines permet d'obtenir ces résultats par un calcul en temps réel qui soit décent.

La séquence <.> [n] <Entrée> [b] <Entrée> : A l'inverse, si épris de liberté, vous voulez entrer deux nombres au hasard (un couple nombre/base entre 2 et 5500), vous pourrez vous servir du point décimal du pavé numérique [.]. Cette touche a été choisie pour sa proximité avec les nombres à saisir et la touche <Entrée> (merveille d'ergonomie :-). Il faudra alors entrer un nombre puis une base, ou plus simplement <Entrée> pour conserver les anciennes valeurs. Si le nombre est premier le programme vous proposera automatiquement une liste, éventuellement utilisable, des premières bases générant une période unique (Pardon pour les épris de liberté, j'en suis revenu à ce qui va vous sembler obsessionnel). Si vous entrez "+2" (avec devant le signe "+") pour le nombre ou la base, l'un ou l'autre seront incrémenté d'autant. Il en va de même pour le signe "-". C'est parfois utile pour détecter certaines régularités. Vous ne trouverez malheureusement avec ce programme, limité à 5500, aucun nouveau couple de premier jumeaux. Comme 17 et 19 séparé de 2.

A tout moment, la touche <Entrée> affiche ou réaffiche le graphe du couple nombre/base en cours (c'est parfois rigolo de réafficher je vous recommanderais bien 576(=24^2) en base 25 ou pire 23, mais c'est un peu hypnotique).

LE LUXE

Les touches <PgUp> et <PgDn> (Les sortes de sapins à droite d'un endroit où il y a six touches et correspondants aux sauts de pages) permettent une navigation très rapide dans l'ensemble des premiers. On pourra alors affiner la recherche rapide à l'aide de l'appui simultané de <Ctrl> avec <HAUT> ou <BAS> pour les premiers et <DROITE> ou <GAUCHE> pour les bases.

Les touches "+" et "-" du pavé numérique permettent une variation continue de la base (de 2 à n+1). Lorsqu'il y a dépassement, le nombre est incrémenté ou décrémenté selon la touche.

Aléatoire: Si vous n'avez aucune idée pour le couple nombre/base à entrer, vous pourrez toujours taper sur la lettre "<X>" qui choisira pour vous (pseudo-)aléatoirement.

De la même manière, vous pourrez restreindre cette recherche (pseudo-)aléatoire aux périodes uniques à l'aide de l'appui sur la lettre "<C>".

Si un nombre vous plaît et que vous voulez une recherche aléatoire sur ses bases sans que lui-même change, la touche "<V>" le fera pour vous.

Dans le pire des cas, vous pouvez générer des figures pseudo-aléatoire (n'importe quel couple nombre/base V.Note) de façon totalement automatisée en passant par la touche "<E>" qui tracera une nouvelle figure toutes les 5 secondes. Cela peut laisser le temps d'appuyer sur la touche <Entrée> si la figure obtenue est intéressante(?), afin de la mettre en mémoire dans un fichier ou simplement noter le couple à la main. L'appui sur la touche <Echap> restaurera le couple précédent.

Les deux touches "<Ctrl> et <E>" simultanément démarrent aussi une sorte d'économiseur d'écran, réduisent drastiquement les nombres et bases recherchés (certains nombres modulo 8, en certaines bases modulo 4), mais les règles imposées à leur couplage font qu'ils génèrent des figures étonnement esthétiques.

Note: Les limites de la base se situent toujours entre 2 et n+1. Pour la génération de l'aléatoire, les limites hautes et basses du nombre n sont paramétrées dans INIT.TXT. Aux lignes 6 et 8 du fichier, on trouve la limite basse et la longueur à explorer (en établissant cette valeur à 1 ou 10 on peut facilement forcer un nombre ou un ensemble de nombre).

POUR LES MORDUS

Le comportement du programme est initialisé différemment lors de son premier lancement. Les plus attentifs d'entre vous l'auront remarqués, il crée alors deux fichiers INIT.TXT et PORTRAIT.PHK qui sont les paramétrages par défaut. En cas d'erreur de saisie dans l'un de ces fichiers, on pourra toujours l'effacer il se recréera automatiquement (On pourra encore le renommer en un autre fichier PHK existant).

Le fichier INIT.TXT contient dans l'ordre: Le couple Nombre/Base avec lequel le programme est sorti pour la dernière fois, la limite basse des nombres puis sur quelle plage ils seront généré aléatoirement (Voir plus haut). Enfin 3 limites de changement de palettes de couleurs, toutes n'étant pas forcément adaptées à un domaine numérique, par défaut elles changent à 2500, 3200 et 5000.

Le fichier PORTRAIT.PHK (moins de 500 octets), s'applique aux touches <F1> à <F12> et <Majuscule><F1> à <Majuscule><F12>. Ils sont une petite mémoire de 24 couples qui peut s'avérer utile pour une démo par l'exemple. Son contenu se présente sous la forme :
touche F1
1848
1805
1349
811
touche F2
1851
208
etc.

Pour chaque touche, les deux premiers nombres sont le couple des touches <F1> à <F12> et les deux suivants le couple des touches <Majuscule><F1> à <Majuscule><F12>.

Exemple d'utilisation : Mon fils m'a fait remarquer les formes hypnotiques citées plus haut. Je veux alors mettre en valeurs ces formes étranges qui se produisent avec le fichier de moins de 500 octets suivant: CARRES.PHK (à copier dans le répertoire du programme MINUMI.EXE).

Plusieurs techniques s'offre à vous, le but du jeu étant de faire ouvrir le fichier d'extension PHK à MINUM.EXE.

La plus technique: En ligne de commande (Démarrer/Programmes/Exécuter/cmd (ou command sur Win98) <Entrée>) il faut se placer dans le répertoire voulu donc taper au clavier:
c:<Entrée> (pour être sûr d'être sur le bon disque, la commande pourrait être "d:")
cd\Minum<Entrée> (pour être sûr d'être sur le bon répertoire. La commande pourrait être "cd\toto\titi\programme\euclidoscope").
Puis:
MINUMI CARRES.PHK<Entrée> (OK, le premier paramètre, le nom du fichier, est passé au programme. C'est ce fichier qui sera ouvert et modifié en lieu et place de PORTRAIT.PHK qui de toute façon est vide par défaut. Il est initialisé pour calculer 1/7 en base 3,10,17,24,3+7n, etc.).

La plus simple: Avec l'explorateur, positionnez vous sur le répertoire qui contient le programme MINUMI.EXE et où vous avez déjà copié le fichier CARRES.PHK. Faites un click bouton droit (<Majuscule>Click-Bouton-Droit pour Win98 et en deçà) sur ce dernier et dans l'option "Ouvrir avec.../Choisir le Programme..." choisissez "Parcourir..." puis "MINUMI.EXE".
Attention si vous cochez la case "Toujours utiliser ce programme pour ouvrir ce type de fichiers", de ne pas avoir d'autre application sur votre machine qui utilise des fichiers d'extension "PHK". Sinon un simple double-click sur l'un de ces fichiers vous le ferait automatiquement ouvrir par MINUMI.EXE (Ce n'est pas un inconvénient et c'est le cas sur ma machine).
PHK correspondent à mes initiales mais vous pouvez utiliser toutes les extensions qui vous chante. L'essentiel (on est sous DOS) est que le nom comporte moins de 8 caractères (inclus) et l'extension moins de 3 (inclus).

L'explication du nom du fichier CARRES.PHK est la suivante:

On part d'un nombre n que l'on élève au carré, et le résultat obtenu est calculé en base n+1 pour les touches de type <F1 à F12>, et en base n-1 pour les bases de type <Majuscule><F1 à F12>. Les touches 1 à 12 sont assignée respectivement à 16, 36, 64, 100, 361, 576, 1024, 1296, 2304, 2916, 3600 et 9. Comme on peut le voir, ce sont les carrés de 4, 6, 8, 10, 19, 24, 32, 36, 48, 54, 60 et 3. Force est de constater que l'on peut y voir une régularité. Vous pouvez ici télécharger une version RTF de ce document.

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