Euclidoscope

Conjectures

L'euclidoscope et les algorithmes associés (ainsi que certaines réflexions sur les mathématiques expérimentales), permettent de se poser certaines questions sur les nombres.

Dans le but d'engager un dialogue (vous pouvez me contacter), qui, je l'espère, s'avèrera fructueux, ces questions seront ici remplacées par des affirmations. Elles concerneront toutes la division euclidienne, pour toutes les fractions (avec un dénominateur premier ou non) et pour toutes les bases.

Commençons par le cas où le dénominateur est premier, il existe alors pour lui, un ensemble de bases générant une période unique, le seul calcul de 1/p suffit alors à déterminer le graphe de toutes les fractions k/p.

1 - Les seuls dénominateurs à accepter la propriété d'unicité de la période quel que soit le numérateur, sont premiers (ils seront notés p). Cette propriété ne se manifeste que pour certaines bases, propres au premier. Chaque premier a son ensemble de bases, et chaque base (mais pas toutes notamment 4), a son ensemble de premiers. Du premier point de vue (chaque premier a son ensemble de bases), il est possible de calculer toutes les solutions, même en base infinie.
Il existe alors plusieurs solutions pour un nombre premier. Leur nombre est pair (V. Point 3).

2 - Le nombre de ces bases pour un premier p, est égal au nombre d'entiers de 2 à p-1, admettant 1 comme P.G.C.D. avec p-1 (ils sont premiers avec p-1). Le maximum est atteint avec les premiers de forme (2^n)+1 (par exemple 3, 5, 17, 257, 65537, etc.) pour lesquels p-1 est premier avec tous les nombres impairs, ce qui leur donne 50% d'abondance. La moitié des bases fournit alors une période unique pour ces premiers particuliers. Le minimum calculé pour les premiers inférieurs à 500 000, se situe aux alentours de 19%. Les nombres ont alors tendance à se regrouper autour d'une valeur pour p-1 de la forme :

2^i x 3^j x 5^k x 7^l x 11^n x 13^m ...

Avec en facteurs la liste des nombres premiers, le nombre de bases générant une période unique est alors minimal au fur et à mesure que le premier grandit. Qui trouvera la valeur minimale théorique ? (Pas moi)

2 bis - Quel que soit le premier il existe toujours pour lui, au moins une base Bo avec une période unique (plus celle corrélée Bo' x Bo = 1 mod P), et donc une de ces bases est plus petite que toutes les autres, c'est la "Graine" du premier.

3 - Lorsqu'une période unique (avec un dénominateur p premier) existe pour une base Bo, il existe toujours une autre base Bo', telle que Bo x Bo' admet 1 pour reste dans la division par p. Leur graphe est alors le même, mais ses points sont visités à rebours dans Bo ou Bo'.

4 - Le pourcentage de bases générant une période unique pour un premier p est égal au pourcentage de nombre de 2 à p-1, et premiers avec p-1 (n'ayant aucun diviseur commun avec p-1). Ce pourcentage, qui varie d'environ 19% ou moins, à très exactement 50% est nommé Abondance.
L'abondance permet de classer les premiers.

5 - La graine du premier, élevée à une puissance première avec p-1, fournira toujours modulo p une base générant une période unique. De plus, il en va de même pour toute base ayant une période unique pour p. Cela permet d'obtenir (avec un algorithme plus rapide) une liste exhaustive des bases (en nombre infini) admettant une période unique pour un premier p.

6 - Certaines de ces bases sont de plus, des multiples entiers de p-1 (elles sont repérables en blanc autour du cercle, suite à l'appui sur la touche <Fin> et listées en haut à gauche, toujours en blanc. Le dénominateur est alors premier, ce que garantit la touche <Alt> et [<Haut> ou <Bas>]). Lorsque cela arrive, la base est toujours congrue à 1 ou 2 mod 4, et jamais à 0 ou 3 (elle n'admet que 1 ou 2 pour reste dans la division par 4, et il faut m'expliquer ce que 4 vient faire dans une propriété propre aux nombres premiers. Déjà que la base 4 est réfractaire aux périodes uniques, il s'agit de ne pas se mélanger les pinceaux).

7 - Pour tous les nombres premiers, même si la base ne fournit pas de période unique, la somme des longueurs de toutes ses périodes (pour tous les numérateurs) est égale à p-1. Ainsi, la somme des longueurs de toutes les périodes d'un premier dans toutes les bases de 1+kp à (p-1)+kp est alors égale à (p-1)x(p-1). C'est le maximum théorique possible.

8 - Le résultat obtenu (la somme des longueurs de toutes les périodes) pour les numérateurs 1 à p-1 allié au phénomène des congruences, permet d'extrapoler le résultat pour tous les numérateurs et pour toutes les bases. Cela même en considérant la période inexistante des bases multiples de p (s'il est difficile de calculer en base 0 il est toujours possible de calculer en base 0+kp, avec k variant de 1 à l'infini).

8 bis - Pour les premiers, la somme de toutes les périodes est maximale (égale à (p-1)*(p-1)). Il n'en va pas de même pour:

Les nombres non premiers

9 - Pour un nombre non premier n, la somme des longueurs de toutes les périodes est parfois (et même souvent; voir n=720 et la jauge en haut à droite de la figure) inférieure à n-1. Cela permet de calculer une valeur propre au nombre: Sa Résonance. Elle est définie comme le rapport entre la somme de toutes les périodes et le maximum théorique possible (p-1)^2.

10 - Un algorithme efficace (mais hélas empirique) pour calculer la somme de toutes les périodes, consiste à diviser le nombre par son P.G.C.D. avec la base, jusqu'à ce que le P.G.C.D. obtenu soit égal à 1 (c'est moins évident que ça n'en a l'air). Le nombre obtenu moins 1 est égal à la somme des longueurs de toutes les périodes des numérateurs de 1 à n, pour le dénominateur n. Il fonctionne pour tous les nombres de l'euclidoscope et donc jusqu'à 5000 (Forte récompense: un repas gratuit pour le premier contre-exemple).

S'il s'avère démontré, cet algorithme sera beaucoup plus rapide que celui consistant à calculer pour chaque nombre, la longueur de chacune de ses périodes. (Considérons que beaucoup de numérateurs aboutissent à la même période. Et en fait, autant que la longueur de cette période).

11 - Si les premiers ont la résonance la plus faible (zéro), les carrés des premiers sont immédiatement au-dessus. Les résonances les plus fortes étant obtenues pour des nombres comme 2p, 3p, (2^2)p, 5p, 2x3xp, et plus généralement, un nombre de résonance maximale sera de la forme:

2^i . 3^j .5^k . 7^l .11^m . 13^n .17^o...

Avec les premiers apparaissant au fur et à mesure.

12 - Pour finir et pour me faire plaisir, je me bornerais à constater que si chaque nombre entier a une résonance unique, aussi loin que j'ai pu calculer, je n'ai jamais observé deux résonances égales.

Suffirait-il d'avoir une résonance pour calculer le nombre correspondant ?

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