Calcul de 1/83 en base 39+83n

Pourquoi les périodes de n/83 en base 39+83n se regroupent elles en cette série ?

1-39-27-57-65-45-12-53-75-20-33-42-61-55-70-74-64-6-68-79-10-58-21-72-69-35-37-32-3-34-81-5-29-52-36-76-59-60-16-43-17===82-44-56-26-18-38-71-30-8-63-50-41-22-28-13-9-19-77-15-4-73-25-62-11-14-48-46-51-80-49-2-78-54-31-47-7-24-23-67-40-66

Calculons 1/83 en base 39+83n (39, 122, 205, ...) :

1/83 en base 39 = 0,0-18-12-26-30-21-5-24-35-9-15-19-28-25-32-34-30-2-31-37-4-27-9-33-32-16-17-15-1-15-38-2-13-24-16-35-27-28-7-20-7===38-20-26-12-8-17-33-14-3-29-23-19-10-13-6-4-8-36-7-1-34-11-29-5-6-22-21-23-37-23-0-36-25-14-22-3-11-10-31-18-31...

1/83 en base 122 = 0,1-57-39-83-95-66-17-77-110-29-48-61-89-80-102-108-94-8-99-116-14-85-30-105-101-51-54-47-4-49-119-7-42-76-52-111-86-88-23-63-24===120-64-82-38-26-55-104-44-11-92-73-60-32-41-19-13-27-113-22-5-107-36-91-16-20-70-67-74-117-72-2-114-79-45-69-10-35-33-98-58-97...

1/83 en base 205 = 0,2-96-66-140-160-111-29-130-185-49-81-103-150-135-172-182-158-14-167-195-24-143-51-177-170-86-91-79-7-83-200-12-71-128-88-187-145-148-39-106-41===202-108-138-64-44-93-175-74-19-155-123-101-54-69-32-22-46-190-37-9-180-61-153-27-34-118-113-125-197-121-4-192-133-76-116-17-59-56-165-98-163...

Et de manière générale en base 39+83n :

[n][18+39n][12+27n][26+57n][30+65n][21+45n][5+12n][24+53n][35+75n][9+20n][15+33n][19+42n][28+61n][25+55n][32+70n][34+74n][30+64n][2+6n][31+68n][37+79n][4+10n][27+58n][9+21n][33+72n][32+69n][16+35n][17+37n][15+32n][1+3n][15+34n][38+81n][2+5n][13+29n][24+52n][16+36n][35+76n][27+59n][28+60n][7+16n][20+43n][7+17n]===[38+82n][20+44n][26+56n][12+26n][8+18n][17+38n][33+71n][14+30n][3+8n][29+63n][23+50n][19+41n][10+22n][13+28n][6+13n][4+9n][8+19n][36+77n][7+15n][1+4n][34+73n][11+25n][29+62n][5+11n][6+14n][22+48n][21+46n][23+51n][37+80n][23+49n][2n][36+78n][25+54n][14+31n][22+47n][3+7n][11+24n][10+23n][31+67n][18+40n][31+66n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-39-27-57-65-45-12-53-75-20-33-42-61-55-70-74-64-6-68-79-10-58-21-72-69-35-37-32-3-34-81-5-29-52-36-76-59-60-16-43-17===82-44-56-26-18-38-71-30-8-63-50-41-22-28-13-9-19-77-15-4-73-25-62-11-14-48-46-51-80-49-2-78-54-31-47-7-24-23-67-40-66

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Et qui est plus simplement égale à série des puissances de 39 modulo 83 

Calcul de 1/83 en base 66+83n

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 66+83n La série est alors :

1-66-40-67-23-24-7-47-31-54-78-2-49-80-51-46-48-14-11-62-25-73-4-15-77-19-9-13-28-22-41-50-63-8-30-71-38-18-26-56-44===82-17-43-16-60-59-76-36-52-29-5-81-34-3-32-37-35-69-72-21-58-10-79-68-6-64-74-70-55-61-42-33-20-75-53-12-45-65-57-27-39

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 39+83n

Calculons 1/83 en base : 66, 149, 232, ...(66+83n) :

1/83 en base 66 = 0,0-52-31-53-18-19-5-37-24-42-62-1-38-63-40-36-38-11-8-49-19-58-3-11-61-15-7-10-22-17-32-39-50-6-23-56-30-14-20-44-34===65-13-34-12-47-46-60-28-41-23-3-64-27-2-25-29-27-54-57-16-46-7-62-54-4-50-58-55-43-48-33-26-15-59-42-9-35-51-45-21-31...

1/83 en base 149 = 0,1-118-71-120-41-43-12-84-55-96-140-3-87-143-91-82-86-25-19-111-44-131-7-26-138-34-16-23-50-39-73-89-113-14-53-127-68-32-46-100-78===147-30-77-28-107-105-136-64-93-52-8-145-61-5-57-66-62-123-129-37-104-17-141-122-10-114-132-125-98-109-75-59-35-134-95-21-80-116-102-48-70...

1/83 en base 232 = 0,2-184-111-187-64-67-19-131-86-150-218-5-136-223-142-128-134-39-30-173-69-204-11-41-215-53-25-36-78-61-114-139-176-22-83-198-106-50-72-156-122===229-47-120-44-167-164-212-100-145-81-13-226-95-8-89-103-97-192-201-58-162-27-220-190-16-178-206-195-153-170-117-92-55-209-148-33-125-181-159-75-109...

Et de manière générale en base 66+83n :

[n][52+66n][31+40n][53+67n][18+23n][19+24n][5+7n][37+47n][24+31n][42+54n][62+78n][1+2n][38+49n][63+80n][40+51n][36+46n][38+48n][11+14n][8+11n][49+62n][19+25n][58+73n][3+4n][11+15n][61+77n][15+19n][7+9n][10+13n][22+28n][17+22n][32+41n][39+50n][50+63n][6+8n][23+30n][56+71n][30+38n][14+18n][20+26n][44+56n][34+44n]===[65+82n][13+17n][34+43n][12+16n][47+60n][46+59n][60+76n][28+36n][41+52n][23+29n][3+5n][64+81n][27+34n][2+3n][25+32n][29+37n][27+35n][54+69n][57+72n][16+21n][46+58n][7+10n][62+79n][54+68n][4+6n][50+64n][58+74n][55+70n][43+55n][48+61n][33+42n][26+33n][15+20n][59+75n][42+53n][9+12n][35+45n][51+65n][45+57n][21+27n][31+39n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

1-66-40-67-23-24-7-47-31-54-78-2-49-80-51-46-48-14-11-62-25-73-4-15-77-19-9-13-28-22-41-50-63-8-30-71-38-18-26-56-44===82-17-43-16-60-59-76-36-52-29-5-81-34-3-32-37-35-69-72-21-58-10-79-68-6-64-74-70-55-61-42-33-20-75-53-12-45-65-57-27-39

Qui partage le cercle en 83 parties égales

Qui est plus simplement égale à série des puissances de 66 modulo 83 

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 39+83n

Constatons que 39x66 admet 1 pour reste dans la division par 83 et qu'ils sont alors inverses dans Z83