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Le microscope numérique
Des méthodes multiples pour calculer les périodes
Ou comment utiliser les suites géométriques pour les retrouver.
Les séries (ou suites) géométriques consistent partant d'un nombre U0, à le multiplier en boucle par toujours la même quantité q.
Elles se définissent donc, respectant une notation usuelle, par:
Partant de U0, il est relativement facile de voir que l'on obtient à chaque étape:
Un résultat maintes fois étudié en classe de terminale concerne la somme de la série géométrique qui est alors au rang n, égale à :
Si n croît indéfiniment, on montre que la série est convergente lorsque q < 1 et tend vers l'infini lorsque q > 1, car q élevé à la puissance n tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
Prenons un exemple simple avec U0 = 0,05 et q = 0,05 tous deux égaux à 1/20. Le coefficient q étant inférieur à 1 la série converge vers 0,05 / (1 - 0,05) = 0,05 / 0,95 = 1 / 19.
0,05
| 25
| 125
| 625
| 3125
| 15625
| 78125
| 390625
| 1953125
| 9765625
| 48828125
| 244140625
| 1220703125
| 6103515625
| 30517578125
| 152587890625
1/19 = 0,052631578947368421052...
Il est alors interressant de réunir dans un même calcul :
La série où U0 = 0,05 et q = 0,05 qui tend vers 1 / 19
Obtenant ainsi la période de 1/19
dans un sens comme dans l'autre :
U1
= 1 et q = 20 | U'1 = U1/q = 1/20 et q' = 1/q = 1/20
34492631578947368421|05263157894736842105255126953125
| 152587890625
| 30517578125
| 6103515625
| 1220703125
| 244140625
| 48828125
| 9765625
| 1953125
| 390625
| 78125
| 15625
| 3125
| 625
| 125
| 25
|05
1
divisé par 20 vers le haut = 0,05
1|
= 1
2.|
1
multiplié par 20 vers le bas = 20
4..|
8...|
(afin d'allèger la figure,
16....|
les 0 sont représentés par des points)
32.....|
64......|
128.......|
256........|
512.........|
1024..........|
2048...........|
4096............|
8192.............|
16384..............|
32768...............|
34492631578947368421|05263157894736842105255126953125
<-- éloignement croissant | précision croissante -->
Où partant de 1, on multiplie (ou divise) par 20 chaque ligne consécutive, retrouvant dans un sens comme dans l'autre la période de 1/19.
Si dans un sens (lorsque q < 1) la période se précise à mesure du calcul; à gauche de la virgule, le calcul tend vers l'infini et s'éloigne de plus en plus de la période de 1/19 qui pourtant s'affine à chaque étape mais uniquement pour les chiffres les moins significatifs (de poids faibles).
Appliquant les formules de transformation:
U'n = Un/q et q'= 1/q
On pourra constater que celles-ci sont réversibles à toute étape du calcul :
U'n = Un/q et q'= 1/q
Un = U'n/q' et q = 1/q'
Quand est-il alors des nombres de la suite de Fibonnaci ?