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La suite de Fibonnaci permet elle aussi de retrouver des périodes !
Si il est logique de retrouver des périodes à l'aide de suites géométriques, le calcul ci-dessous est en revanche très surprenant.
La série de Fibonnaci, en relation étroite avec le nombre d'or, est définie par :
Un = Un-1 + Un-2 , avec U0 =1 et U1 = 1
Partant de 1 puis 1, on additionne donc deux nombres consécutifs pour trouver le suivant. Les premiers termes de la série sont :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc.
Outre que l'on retrouve abondamment les nombres de cette suite dans la nature (spirales logaritmiques dans un cœur de marguerite, de tournesol ou de coquilles d'escargots par exemple), cette série a pour particularité que le rapport de deux nombres consécutifs va tendre vers le nombre d'or au fur et à mesure que la série croît.
Le nombre d'or est la racine positive de l'équation X^2 - X - 1 = 0.
Additionnons alors les nombres de la série de Fibonnaci en les décalant d'un cran vers la droite :
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
112359550561797752808950848
1/89=0,01123595505617977528089887640449438202247191...
Quelle n'est pas notre surprise lorsque nous comparons les chiffres obtenus avec la période de 1/89 placés en regard en orange !!!
La surprise prend tout son sel remarquant que l'on compte en base 10, et que :
89 = 10^2 - 10 - 1
Où l'on retrouve la forme de l'équation générant le nombre d'or.
Savoir si cette propriété se manifeste pour d'autres bases sort du cadre de ce site. Je n'ai actuellement jamais ouï dire qu'un tel calcul existait (même celui en base 10). Une telle précision est elle le simple fait du hasard ? Comment la série se comporte-elle pour un nombre plus grand de termes, voire une infinité ? Le plus curieux étant qu'à l'infini le rapport entre deux nombres consécutifs de la suite tend vers un irrationnel, alors que la somme de cette série convergerait vers un rationnel !!!
L'opération symétrique, consistant à additionner les nombres de cette suite en les décalant d'un cran vers la gauche, d'approche plus délicate laisse apparaitre les derniers chiffres de la période de 1/109 :
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
20935697247706422018348623853211 =>
Nous avons ici la somme de la série
44036697247706422018348623853211
=>
Et les derniers termes de la période de 1/109
Voici
pour mémoire les 108 chiffres de
la période de 1/109 visibles dans la
base de données en ligne pour les bases de 2 à 10 et les premiers
de 2 à 257:
1/109 = 0,009174311926605504587155963302752293577981651376146788 990825688073394495412844036697247706422018348623853211
La période coupée en deux permet encore une fois de s'assurer de sa symétrie, la somme de chaque paire de chiffres superposés étant égale à 9. On remarquera que :
109 = 10^2 + 10 - 1