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Calcul de 1/61 en base 2+61n
Pourquoi les périodes de n/61 en base 2+61n se regroupent elles en cette série ?
1-2-4-8-16-32-3-6-12-24-48-35-9-18-36-11-22-44-27-54-47-33-5-10-20-40-19-38-15-30===60-59-57-53-45-29-58-55-49-37-13-26-52-43-25-50-39-17-34-7-14-28-56-51-41-21-42-23-46-31
Calculons 1/61 en base 2+61n (2, 63, 124, ...) :
1/61 en base 2 = 0,000001000011001001011100010100===111110111100110110100011101011...
1/61 en base 63 = 0,1-2-4-8-16-33-3-6-12-24-49-36-9-18-37-11-22-45-27-55-48-34-5-10-20-41-19-39-15-30===61-60-58-54-46-29-59-56-50-38-13-26-53-44-25-51-40-17-35-7-14-28-57-52-42-21-43-23-47-32...
1/61 en base 124 = 0,2-4-8-16-32-65-6-12-24-48-97-71-18-36-73-22-44-89-54-109-95-67-10-20-40-81-38-77-30-60===121-119-115-107-91-58-117-111-99-75-26-52-105-87-50-101-79-34-69-14-28-56-113-103-83-42-85-46-93-63...
Et de manière générale en base 2+61n :
[n][2n][4n][8n][16n][1+32n][3n][6n][12n][24n][1+48n][1+35n][9n][18n][1+36n][11n][22n][1+44n][27n][1+54n][1+47n][1+33n][5n][10n][20n][1+40n][19n][1+38n][15n][30n]===[1+60n][1+59n][1+57n][1+53n][1+45n][29n][1+58n][1+55n][1+49n][1+37n][13n][26n][1+52n][1+43n][25n][1+50n][1+39n][17n][1+34n][7n][14n][28n][1+56n][1+51n][1+41n][21n][1+42n][23n][1+46n][1+31n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-2-4-8-16-32-3-6-12-24-48-35-9-18-36-11-22-44-27-54-47-33-5-10-20-40-19-38-15-30===60-59-57-53-45-29-58-55-49-37-13-26-52-43-25-50-39-17-34-7-14-28-56-51-41-21-42-23-46-31
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Et qui est plus simplement égale à série des puissances de 2 modulo 61
Calcul de 1/61 en base 31+61n
Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 31+61n La série est alors :
1-31-46-23-42-21-41-51-56-28-14-7-34-17-39-50-25-43-52-26-13-37-49-55-58-29-45-53-57-59===60-30-15-38-19-40-20-10-5-33-47-54-27-44-22-11-36-18-9-35-48-24-12-6-3-32-16-8-4-2
Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 2+61n
Calculons 1/61 en base : 31, 92, 153, ...(31+61n) :
1/61 en base 31 = 0,0-15-23-11-21-10-20-25-28-14-7-3-17-8-19-25-12-21-26-13-6-18-24-27-29-14-22-26-28-29===30-15-7-19-9-20-10-5-2-16-23-27-13-22-11-5-18-9-4-17-24-12-6-3-1-16-8-4-2-1...
1/61 en base 92 = 0,1-46-69-34-63-31-61-76-84-42-21-10-51-25-58-75-37-64-78-39-19-55-73-82-87-43-67-79-85-88===90-45-22-57-28-60-30-15-7-49-70-81-40-66-33-16-54-27-13-52-72-36-18-9-4-48-24-12-6-3...
1/61 en base 153 = 0,2-77-115-57-105-52-102-127-140-70-35-17-85-42-97-125-62-107-130-65-32-92-122-137-145-72-112-132-142-147===150-75-37-95-47-100-50-25-12-82-117-135-67-110-55-27-90-45-22-87-120-60-30-15-7-80-40-20-10-5...
Et de manière générale en base 31+61n :
[n][15+31n][23+46n][11+23n][21+42n][10+21n][20+41n][25+51n][28+56n][14+28n][7+14n][3+7n][17+34n][8+17n][19+39n][25+50n][12+25n][21+43n][26+52n][13+26n][6+13n][18+37n][24+49n][27+55n][29+58n][14+29n][22+45n][26+53n][28+57n][29+59n]===[30+60n][15+30n][7+15n][19+38n][9+19n][20+40n][10+20n][5+10n][2+5n][16+33n][23+47n][27+54n][13+27n][22+44n][11+22n][5+11n][18+36n][9+18n][4+9n][17+35n][24+48n][12+24n][6+12n][3+6n][1+3n][16+32n][8+16n][4+8n][2+4n][1+2n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-31-46-23-42-21-41-51-56-28-14-7-34-17-39-50-25-43-52-26-13-37-49-55-58-29-45-53-57-59===60-30-15-38-19-40-20-10-5-33-47-54-27-44-22-11-36-18-9-35-48-24-12-6-3-32-16-8-4-2
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Qui est plus simplement égale à série des puissances de 31 modulo 61
Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 2+61n
Constatons que 2x31 admet 1 pour reste dans la division par 61 et qu'ils sont alors inverses dans Z61