|
|||||||||||
Calcul de 1/61 en base 6+61n
Pourquoi les périodes de n/61 en base 6+61n se regroupent elles en cette série ?
1-6-36-33-15-29-52-7-42-8-48-44-20-59-49-50-56-31-3-18-47-38-45-26-34-21-4-24-22-10===60-55-25-28-46-32-9-54-19-53-13-17-41-2-12-11-5-30-58-43-14-23-16-35-27-40-57-37-39-51
Calculons 1/61 en base 6+61n (6, 67, 128, ...) :
1/61 en base 6 = 0,003312504044154453014342320220===552243051511401102541213235335...
1/61 en base 67 = 0,1-6-39-36-16-31-57-7-46-8-52-48-21-64-53-54-61-34-3-19-51-41-49-28-37-23-4-26-24-10===65-60-27-30-50-35-9-59-20-58-14-18-45-2-13-12-5-32-63-47-15-25-17-38-29-43-62-40-42-56...
1/61 en base 128 = 0,2-12-75-69-31-60-109-14-88-16-100-92-41-123-102-104-117-65-6-37-98-79-94-54-71-44-8-50-46-20===125-115-52-58-96-67-18-113-39-111-27-35-86-4-25-23-10-62-121-90-29-48-33-73-56-83-119-77-81-107...
Et de manière générale en base 6+61n :
[n][6n][3+36n][3+33n][1+15n][2+29n][5+52n][7n][4+42n][8n][4+48n][4+44n][1+20n][5+59n][4+49n][4+50n][5+56n][3+31n][3n][1+18n][4+47n][3+38n][4+45n][2+26n][3+34n][2+21n][4n][2+24n][2+22n][10n]===[5+60n][5+55n][2+25n][2+28n][4+46n][3+32n][9n][5+54n][1+19n][5+53n][1+13n][1+17n][4+41n][2n][1+12n][1+11n][5n][2+30n][5+58n][4+43n][1+14n][2+23n][1+16n][3+35n][2+27n][3+40n][5+57n][3+37n][3+39n][5+51n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-6-36-33-15-29-52-7-42-8-48-44-20-59-49-50-56-31-3-18-47-38-45-26-34-21-4-24-22-10===60-55-25-28-46-32-9-54-19-53-13-17-41-2-12-11-5-30-58-43-14-23-16-35-27-40-57-37-39-51
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Et qui est plus simplement égale à série des puissances de 6 modulo 61
Calcul de 1/61 en base 51+61n
Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 51+61n La série est alors :
1-51-39-37-57-40-27-35-16-23-14-43-58-30-5-11-12-2-41-17-13-53-19-54-9-32-46-28-25-55===60-10-22-24-4-21-34-26-45-38-47-18-3-31-56-50-49-59-20-44-48-8-42-7-52-29-15-33-36-6
Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 6+61n
Calculons 1/61 en base : 51, 112, 173, ...(51+61n) :
1/61 en base 51 = 0,0-42-32-30-47-33-22-29-13-19-11-35-48-25-4-9-10-1-34-14-10-44-15-45-7-26-38-23-20-45===50-8-18-20-3-17-28-21-37-31-39-15-2-25-46-41-40-49-16-36-40-6-35-5-43-24-12-27-30-5...
1/61 en base 112 = 0,1-93-71-67-104-73-49-64-29-42-25-78-106-55-9-20-22-3-75-31-23-97-34-99-16-58-84-51-45-100===110-18-40-44-7-38-62-47-82-69-86-33-5-56-102-91-89-108-36-80-88-14-77-12-95-53-27-60-66-11...
1/61 en base 173 = 0,2-144-110-104-161-113-76-99-45-65-39-121-164-85-14-31-34-5-116-48-36-150-53-153-25-90-130-79-70-155===170-28-62-68-11-59-96-73-127-107-133-51-8-87-158-141-138-167-56-124-136-22-119-19-147-82-42-93-102-17...
Et de manière générale en base 51+61n :
[n][42+51n][32+39n][30+37n][47+57n][33+40n][22+27n][29+35n][13+16n][19+23n][11+14n][35+43n][48+58n][25+30n][4+5n][9+11n][10+12n][1+2n][34+41n][14+17n][10+13n][44+53n][15+19n][45+54n][7+9n][26+32n][38+46n][23+28n][20+25n][45+55n]===[50+60n][8+10n][18+22n][20+24n][3+4n][17+21n][28+34n][21+26n][37+45n][31+38n][39+47n][15+18n][2+3n][25+31n][46+56n][41+50n][40+49n][49+59n][16+20n][36+44n][40+48n][6+8n][35+42n][5+7n][43+52n][24+29n][12+15n][27+33n][30+36n][5+6n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-51-39-37-57-40-27-35-16-23-14-43-58-30-5-11-12-2-41-17-13-53-19-54-9-32-46-28-25-55===60-10-22-24-4-21-34-26-45-38-47-18-3-31-56-50-49-59-20-44-48-8-42-7-52-29-15-33-36-6
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Qui est plus simplement égale à série des puissances de 51 modulo 61
Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 6+61n
Constatons que 6x51 admet 1 pour reste dans la division par 61 et qu'ils sont alors inverses dans Z61