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Calcul de 1/61 en base 43+61n
Pourquoi les périodes de n/61 en base 43+61n se regroupent elles en cette série ?
1-43-19-24-56-29-27-2-25-38-48-51-58-54-4-50-15-35-41-55-47-8-39-30-9-21-49-33-16-17===60-18-42-37-5-32-34-59-36-23-13-10-3-7-57-11-46-26-20-6-14-53-22-31-52-40-12-28-45-44
Calculons 1/61 en base 43+61n (43, 104, 165, ...) :
1/61 en base 43 = 0,0-30-13-16-39-20-19-1-17-26-33-35-40-38-2-35-10-24-28-38-33-5-27-21-6-14-34-23-11-11===42-12-29-26-3-22-23-41-25-16-9-7-2-4-40-7-32-18-14-4-9-37-15-21-36-28-8-19-31-31...
1/61 en base 104 = 0,1-73-32-40-95-49-46-3-42-64-81-86-98-92-6-85-25-59-69-93-80-13-66-51-15-35-83-56-27-28===102-30-71-63-8-54-57-100-61-39-22-17-5-11-97-18-78-44-34-10-23-90-37-52-88-68-20-47-76-75...
1/61 en base 165 = 0,2-116-51-64-151-78-73-5-67-102-129-137-156-146-10-135-40-94-110-148-127-21-105-81-24-56-132-89-43-45===162-48-113-100-13-86-91-159-97-62-35-27-8-18-154-29-124-70-54-16-37-143-59-83-140-108-32-75-121-119...
Et de manière générale en base 43+61n :
[n][30+43n][13+19n][16+24n][39+56n][20+29n][19+27n][1+2n][17+25n][26+38n][33+48n][35+51n][40+58n][38+54n][2+4n][35+50n][10+15n][24+35n][28+41n][38+55n][33+47n][5+8n][27+39n][21+30n][6+9n][14+21n][34+49n][23+33n][11+16n][11+17n]===[42+60n][12+18n][29+42n][26+37n][3+5n][22+32n][23+34n][41+59n][25+36n][16+23n][9+13n][7+10n][2+3n][4+7n][40+57n][7+11n][32+46n][18+26n][14+20n][4+6n][9+14n][37+53n][15+22n][21+31n][36+52n][28+40n][8+12n][19+28n][31+45n][31+44n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-43-19-24-56-29-27-2-25-38-48-51-58-54-4-50-15-35-41-55-47-8-39-30-9-21-49-33-16-17===60-18-42-37-5-32-34-59-36-23-13-10-3-7-57-11-46-26-20-6-14-53-22-31-52-40-12-28-45-44
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Et qui est plus simplement égale à série des puissances de 43 modulo 61
Calcul de 1/61 en base 44+61n
Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 44+61n La série est alors :
1-44-45-28-12-40-52-31-22-53-14-6-20-26-46-11-57-7-3-10-13-23-36-59-34-32-5-37-42-18===60-17-16-33-49-21-9-30-39-8-47-55-41-35-15-50-4-54-58-51-48-38-25-2-27-29-56-24-19-43
Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 43+61n
Calculons 1/61 en base : 44, 105, 166, ...(44+61n) :
1/61 en base 44 = 0,0-31-32-20-8-28-37-22-15-38-10-4-14-18-33-7-41-5-2-7-9-16-25-42-24-23-3-26-30-12===43-12-11-23-35-15-6-21-28-5-33-39-29-25-10-36-2-38-41-36-34-27-18-1-19-20-40-17-13-31...
1/61 en base 105 = 0,1-75-77-48-20-68-89-53-37-91-24-10-34-44-79-18-98-12-5-17-22-39-61-101-58-55-8-63-72-30===103-29-27-56-84-36-15-51-67-13-80-94-70-60-25-86-6-92-99-87-82-65-43-3-46-49-96-41-32-74...
1/61 en base 166 = 0,2-119-122-76-32-108-141-84-59-144-38-16-54-70-125-29-155-19-8-27-35-62-97-160-92-87-13-100-114-48===163-46-43-89-133-57-24-81-106-21-127-149-111-95-40-136-10-146-157-138-130-103-68-5-73-78-152-65-51-117...
Et de manière générale en base 44+61n :
[n][31+44n][32+45n][20+28n][8+12n][28+40n][37+52n][22+31n][15+22n][38+53n][10+14n][4+6n][14+20n][18+26n][33+46n][7+11n][41+57n][5+7n][2+3n][7+10n][9+13n][16+23n][25+36n][42+59n][24+34n][23+32n][3+5n][26+37n][30+42n][12+18n]===[43+60n][12+17n][11+16n][23+33n][35+49n][15+21n][6+9n][21+30n][28+39n][5+8n][33+47n][39+55n][29+41n][25+35n][10+15n][36+50n][2+4n][38+54n][41+58n][36+51n][34+48n][27+38n][18+25n][1+2n][19+27n][20+29n][40+56n][17+24n][13+19n][31+43n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-44-45-28-12-40-52-31-22-53-14-6-20-26-46-11-57-7-3-10-13-23-36-59-34-32-5-37-42-18===60-17-16-33-49-21-9-30-39-8-47-55-41-35-15-50-4-54-58-51-48-38-25-2-27-29-56-24-19-43
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Qui est plus simplement égale à série des puissances de 44 modulo 61
Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 43+61n
Constatons que 43x44 admet 1 pour reste dans la division par 61 et qu'ils sont alors inverses dans Z61