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Calcul de 1/61 en base 30+61n
Pourquoi les périodes de n/61 en base 30+61n se regroupent elles en cette série ?
1-30-46-38-42-40-41-10-56-33-14-54-34-44-39-11-25-18-52-35-13-24-49-6-58-32-45-8-57-2===60-31-15-23-19-21-20-51-5-28-47-7-27-17-22-50-36-43-9-26-48-37-12-55-3-29-16-53-4-59
Calculons 1/61 en base 30+61n (30, 91, 152, ...) :
1/61 en base 30 = 0,0-14-22-18-20-19-20-4-27-16-6-26-16-21-19-5-12-8-25-17-6-11-24-2-28-15-22-3-28-0===29-15-7-11-9-10-9-25-2-13-23-3-13-8-10-24-17-21-4-12-23-18-5-27-1-14-7-26-1-29...
1/61 en base 91 = 0,1-44-68-56-62-59-61-14-83-49-20-80-50-65-58-16-37-26-77-52-19-35-73-8-86-47-67-11-85-2===89-46-22-34-28-31-29-76-7-41-70-10-40-25-32-74-53-64-13-38-71-55-17-82-4-43-23-79-5-88...
1/61 en base 152 = 0,2-74-114-94-104-99-102-24-139-82-34-134-84-109-97-27-62-44-129-87-32-59-122-14-144-79-112-19-142-4===149-77-37-57-47-52-49-127-12-69-117-17-67-42-54-124-89-107-22-64-119-92-29-137-7-72-39-132-9-147...
Et de manière générale en base 30+61n :
[n][14+30n][22+46n][18+38n][20+42n][19+40n][20+41n][4+10n][27+56n][16+33n][6+14n][26+54n][16+34n][21+44n][19+39n][5+11n][12+25n][8+18n][25+52n][17+35n][6+13n][11+24n][24+49n][2+6n][28+58n][15+32n][22+45n][3+8n][28+57n][2n]===[29+60n][15+31n][7+15n][11+23n][9+19n][10+21n][9+20n][25+51n][2+5n][13+28n][23+47n][3+7n][13+27n][8+17n][10+22n][24+50n][17+36n][21+43n][4+9n][12+26n][23+48n][18+37n][5+12n][27+55n][1+3n][14+29n][7+16n][26+53n][1+4n][29+59n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-30-46-38-42-40-41-10-56-33-14-54-34-44-39-11-25-18-52-35-13-24-49-6-58-32-45-8-57-2===60-31-15-23-19-21-20-51-5-28-47-7-27-17-22-50-36-43-9-26-48-37-12-55-3-29-16-53-4-59
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Et qui est plus simplement égale à série des puissances de 30 modulo 61
Calcul de 1/61 en base 59+61n
Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 59+61n La série est alors :
1-59-4-53-16-29-3-55-12-37-48-26-9-43-36-50-22-17-27-7-47-28-5-51-20-21-19-23-15-31===60-2-57-8-45-32-58-6-49-24-13-35-52-18-25-11-39-44-34-54-14-33-56-10-41-40-42-38-46-30
Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 30+61n
Calculons 1/61 en base : 59, 120, 181, ...(59+61n) :
1/61 en base 59 = 0,0-57-3-51-15-28-2-53-11-35-46-25-8-41-34-48-21-16-26-6-45-27-4-49-19-20-18-22-14-29===58-1-55-7-43-30-56-5-47-23-12-33-50-17-24-10-37-42-32-52-13-31-54-9-39-38-40-36-44-29...
1/61 en base 120 = 0,1-116-7-104-31-57-5-108-23-72-94-51-17-84-70-98-43-33-53-13-92-55-9-100-39-41-37-45-29-60===118-3-112-15-88-62-114-11-96-47-25-68-102-35-49-21-76-86-66-106-27-64-110-19-80-78-82-74-90-59...
1/61 en base 181 = 0,2-175-11-157-47-86-8-163-35-109-142-77-26-127-106-148-65-50-80-20-139-83-14-151-59-62-56-68-44-91===178-5-169-23-133-94-172-17-145-71-38-103-154-53-74-32-115-130-100-160-41-97-166-29-121-118-124-112-136-89...
Et de manière générale en base 59+61n :
[n][57+59n][3+4n][51+53n][15+16n][28+29n][2+3n][53+55n][11+12n][35+37n][46+48n][25+26n][8+9n][41+43n][34+36n][48+50n][21+22n][16+17n][26+27n][6+7n][45+47n][27+28n][4+5n][49+51n][19+20n][20+21n][18+19n][22+23n][14+15n][29+31n]===[58+60n][1+2n][55+57n][7+8n][43+45n][30+32n][56+58n][5+6n][47+49n][23+24n][12+13n][33+35n][50+52n][17+18n][24+25n][10+11n][37+39n][42+44n][32+34n][52+54n][13+14n][31+33n][54+56n][9+10n][39+41n][38+40n][40+42n][36+38n][44+46n][29+30n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-59-4-53-16-29-3-55-12-37-48-26-9-43-36-50-22-17-27-7-47-28-5-51-20-21-19-23-15-31===60-2-57-8-45-32-58-6-49-24-13-35-52-18-25-11-39-44-34-54-14-33-56-10-41-40-42-38-46-30
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Qui est plus simplement égale à série des puissances de 59 modulo 61
Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 30+61n
Constatons que 30x59 admet 1 pour reste dans la division par 61 et qu'ils sont alors inverses dans Z61