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Le microscope numérique
Des méthodes multiples pour calculer les périodes
Ou comment utiliser les suites géométriques pour les retrouver.
La fameuse période de 1/7 = 142857 peut être obtenue de diverses manières (une infinité). Certaines parmis les plus simples peuvent se révéler riche d'enseignement.
Exemple I :
En effet, calculons la somme des puissances successives de 3, décalées d'un cran vers la droite :
1 3
puissance 0
3 3
puissance 1
9 3
puissance 2
27 3
puissance 3
81 3
puissance 4
243 3
puissance 5
729 3
puissance 6
2187 3
puissance 7
6561 3
puissance 8
19683 3
puissance 9
59049 3
puissance 10
177147 3
puissance 11
531441 3
puissance 12
1594323 3
puissance 13
4782969 3
puissance 14
14348907 3
puissance 15
43046721 3
puissance 16
129140163 3
puissance 17
387420489 3
puissance 18
1162261467 3
puissance 19
14285714285216173657
On obtient bien en orange les premiers chiffres de la période 142857. On observera alors que cette série équivaut partant de 0,1 à multiplier chaque terme de la série par 0,3. Elle est donc équivalente à une suite géométrique de raison 0,3 dont la somme nous est donnée par la formule 0,1 * (1- 0,3^(n + 1)) / (1 - 0,3) = 0,1 / 0,7 qui est bien égal à 1/7 lorsque n tend vers l'infini.
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Exemple II :
Si maintenant, partant de 14 on multiplie par 2 en décalant de 2 crans vers la droite :
14 14
fois (2 puissance 0)
28 14
fois (2 puissance 1)
56 14
fois (2 puissance 2)
112 14
fois (2 puissance 3)
224 14
fois (2 puissance 4)
448 14
fois (2 puissance 5)
896 14
fois (2 puissance 6)
1792 14
fois (2 puissance 7)
3584 14
fois (2 puissance 8)
7168 14
fois (2 puissance 9)
14336 14
fois (2 puissance 10)
28672 14
fois (2 puissance 11)
57344 14
fois (2 puissance 12)
114688 14
fois (2 puissance 13)
229376 14
fois (2 puissance 14)
142857142857142857142857138176
On obtient bien encore une fois en orange les premiers chiffres de la série. Cette série équivaut donc partant de 0,14 a multiplier chaque termes de la série par 0,02. Elle est donc équivalente à une suite géométrique de raison 0,02 dont la somme nous est donnée par la formule 0,14 * (1- 0,02^(n + 1)) / (1 - 0,02) = 0,14 / 0,98 qui est bien égal à 1/7 lorsque n tend vers l'infini.
Il faut noter ici pour la suite de l'exposé qu'une multiplication par 0,02 équivaut à une division par 50.
En effet, l'opération se corse lorsque nous voulons décaler vers la gauche.
Exemple III :
Force nous est de constater que la même période de 1/7 est obtenue lorsque partant de 7 on multiplie par 5 en décalant d'un cran vers la gauche (ce qui revient à multiplier par 50):
7
35
175
875
4375
21875
109375
546875
2734375
13671875
68359375
341796875
1708984375
8544921875
42724609375
213623046875
217982700892857142857142857
On obtient bien encore une fois en orange les premiers chiffres de la série. Mais ici, le coefficient multiplicateur 50 est supérieur à 1 et la série diverge. Comment montrer alors que ses derniers chiffres (les moins significatifs) s'alignent sur la période 142857 aussi loin que l'on poursuive le calcul ?
Comme nous l'avons remarqué dans l'exemple II, une division par 0,02 équivaut à cette multiplication par 50. Ainsi nous pouvons réunir dans une même figure où le trait vertical correspond à la position de la virgule :
Synthèse des exemples II et III:
5580357142857|142857142857142784
| 3584
| 1792
| 896
| 448
| 224
| 112
| 56
| 28
|14 7
divisé par 50 vers le haut = 0.14
7| = 7
35 | 7
multiplié par 50 vers le bas = 350
175 |
875 |
4375 |
21875 |
109375 |
546875 |
5580357142857|142857142857142784
<-- éloignement croissant | précision croissante -->
Où partant de 7, on multiplie (ou divise) par 50 chaque ligne consécutive, retrouvant dans un sens comme dans l'autre la période de 1/7.
Ici donc, tout s'explique. Le mystère s'épaissit lorsque l'on répète la même opération avec les nombres de la série de Fibonnaci.