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Calcul de 1/61 en base 7+61n
Pourquoi les périodes de n/61 en base 7+61n se regroupent elles en cette série ?
1-7-49-38-22-32-41-43-57-33-48-31-34-55-19-11-16-51-52-59-47-24-46-17-58-40-36-8-56-26===60-54-12-23-39-29-20-18-4-28-13-30-27-6-42-50-45-10-9-2-14-37-15-44-3-21-25-53-5-35
Calculons 1/61 en base 7+61n (7, 68, 129, ...) :
1/61 en base 7 = 0,005423446353362115565251644062===661243220313304551101415022604...
1/61 en base 68 = 0,1-7-54-42-24-35-45-47-63-36-53-34-37-61-21-12-17-56-57-65-52-26-51-18-64-44-40-8-62-28===66-60-13-25-43-32-22-20-4-31-14-33-30-6-46-55-50-11-10-2-15-41-16-49-3-23-27-59-5-39...
1/61 en base 129 = 0,2-14-103-80-46-67-86-90-120-69-101-65-71-116-40-23-33-107-109-124-99-50-97-35-122-84-76-16-118-54===126-114-25-48-82-61-42-38-8-59-27-63-57-12-88-105-95-21-19-4-29-78-31-93-6-44-52-112-10-74...
Et de manière générale en base 7+61n :
[n][7n][5+49n][4+38n][2+22n][3+32n][4+41n][4+43n][6+57n][3+33n][5+48n][3+31n][3+34n][6+55n][2+19n][1+11n][1+16n][5+51n][5+52n][6+59n][5+47n][2+24n][5+46n][1+17n][6+58n][4+40n][4+36n][8n][6+56n][2+26n]===[6+60n][6+54n][1+12n][2+23n][4+39n][3+29n][2+20n][2+18n][4n][3+28n][1+13n][3+30n][3+27n][6n][4+42n][5+50n][5+45n][1+10n][1+9n][2n][1+14n][4+37n][1+15n][5+44n][3n][2+21n][2+25n][6+53n][5n][4+35n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-7-49-38-22-32-41-43-57-33-48-31-34-55-19-11-16-51-52-59-47-24-46-17-58-40-36-8-56-26===60-54-12-23-39-29-20-18-4-28-13-30-27-6-42-50-45-10-9-2-14-37-15-44-3-21-25-53-5-35
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Et qui est plus simplement égale à série des puissances de 7 modulo 61
Calcul de 1/61 en base 35+61n
Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 35+61n La série est alors :
1-35-5-53-25-21-3-44-15-37-14-2-9-10-45-50-42-6-27-30-13-28-4-18-20-29-39-23-12-54===60-26-56-8-36-40-58-17-46-24-47-59-52-51-16-11-19-55-34-31-48-33-57-43-41-32-22-38-49-7
Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 7+61n
Calculons 1/61 en base : 35, 96, 157, ...(35+61n) :
1/61 en base 35 = 0,0-20-2-30-14-12-1-25-8-21-8-1-5-5-25-28-24-3-15-17-7-16-2-10-11-16-22-13-6-30===34-14-32-4-20-22-33-9-26-13-26-33-29-29-9-6-10-31-19-17-27-18-32-24-23-18-12-21-28-4...
1/61 en base 96 = 0,1-55-7-83-39-33-4-69-23-58-22-3-14-15-70-78-66-9-42-47-20-44-6-28-31-45-61-36-18-84===94-40-88-12-56-62-91-26-72-37-73-92-81-80-25-17-29-86-53-48-75-51-89-67-64-50-34-59-77-11...
1/61 en base 157 = 0,2-90-12-136-64-54-7-113-38-95-36-5-23-25-115-128-108-15-69-77-33-72-10-46-51-74-100-59-30-138===154-66-144-20-92-102-149-43-118-61-120-151-133-131-41-28-48-141-87-79-123-84-146-110-105-82-56-97-126-18...
Et de manière générale en base 35+61n :
[n][20+35n][2+5n][30+53n][14+25n][12+21n][1+3n][25+44n][8+15n][21+37n][8+14n][1+2n][5+9n][5+10n][25+45n][28+50n][24+42n][3+6n][15+27n][17+30n][7+13n][16+28n][2+4n][10+18n][11+20n][16+29n][22+39n][13+23n][6+12n][30+54n]===[34+60n][14+26n][32+56n][4+8n][20+36n][22+40n][33+58n][9+17n][26+46n][13+24n][26+47n][33+59n][29+52n][29+51n][9+16n][6+11n][10+19n][31+55n][19+34n][17+31n][27+48n][18+33n][32+57n][24+43n][23+41n][18+32n][12+22n][21+38n][28+49n][4+7n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-35-5-53-25-21-3-44-15-37-14-2-9-10-45-50-42-6-27-30-13-28-4-18-20-29-39-23-12-54===60-26-56-8-36-40-58-17-46-24-47-59-52-51-16-11-19-55-34-31-48-33-57-43-41-32-22-38-49-7
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Qui est plus simplement égale à série des puissances de 35 modulo 61
Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 7+61n
Constatons que 7x35 admet 1 pour reste dans la division par 61 et qu'ils sont alors inverses dans Z61