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Calcul de 1/61 en base 10+61n
Pourquoi les périodes de n/61 en base 10+61n se regroupent elles en cette série ?
1-10-39-24-57-21-27-26-16-38-14-18-58-31-5-50-12-59-41-44-13-8-19-7-9-29-46-33-25-6===60-51-22-37-4-40-34-35-45-23-47-43-3-30-56-11-49-2-20-17-48-53-42-54-52-32-15-28-36-55
Calculons 1/61 en base 10+61n (10, 71, 132, ...) :
1/61 en base 10 = 0,016393442622950819672131147540===983606557377049180327868852459...
1/61 en base 71 = 0,1-11-45-27-66-24-31-30-18-44-16-20-67-36-5-58-13-68-47-51-15-9-22-8-10-33-53-38-29-6===69-59-25-43-4-46-39-40-52-26-54-50-3-34-65-12-57-2-23-19-55-61-48-62-60-37-17-32-41-64...
1/61 en base 132 = 0,2-21-84-51-123-45-58-56-34-82-30-38-125-67-10-108-25-127-88-95-28-17-41-15-19-62-99-71-54-12===129-110-47-80-8-86-73-75-97-49-101-93-6-64-121-23-106-4-43-36-103-114-90-116-112-69-32-60-77-119...
Et de manière générale en base 10+61n :
[n][1+10n][6+39n][3+24n][9+57n][3+21n][4+27n][4+26n][2+16n][6+38n][2+14n][2+18n][9+58n][5+31n][5n][8+50n][1+12n][9+59n][6+41n][7+44n][2+13n][1+8n][3+19n][1+7n][1+9n][4+29n][7+46n][5+33n][4+25n][6n]===[9+60n][8+51n][3+22n][6+37n][4n][6+40n][5+34n][5+35n][7+45n][3+23n][7+47n][7+43n][3n][4+30n][9+56n][1+11n][8+49n][2n][3+20n][2+17n][7+48n][8+53n][6+42n][8+54n][8+52n][5+32n][2+15n][4+28n][5+36n][9+55n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-10-39-24-57-21-27-26-16-38-14-18-58-31-5-50-12-59-41-44-13-8-19-7-9-29-46-33-25-6===60-51-22-37-4-40-34-35-45-23-47-43-3-30-56-11-49-2-20-17-48-53-42-54-52-32-15-28-36-55
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Et qui est plus simplement égale à série des puissances de 10 modulo 61
Calcul de 1/61 en base 55+61n
Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 55+61n La série est alors :
1-55-36-28-15-32-52-54-42-53-48-17-20-2-49-11-56-30-3-43-47-23-45-35-34-40-4-37-22-51===60-6-25-33-46-29-9-7-19-8-13-44-41-59-12-50-5-31-58-18-14-38-16-26-27-21-57-24-39-10
Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 10+61n
Calculons 1/61 en base : 55, 116, 177, ...(55+61n) :
1/61 en base 55 = 0,0-49-32-25-13-28-46-48-37-47-43-15-18-1-44-9-50-27-2-38-42-20-40-31-30-36-3-33-19-45===54-5-22-29-41-26-8-6-17-7-11-39-36-53-10-45-4-27-52-16-12-34-14-23-24-18-51-21-35-9...
1/61 en base 116 = 0,1-104-68-53-28-60-98-102-79-100-91-32-38-3-93-20-106-57-5-81-89-43-85-66-64-76-7-70-41-96===114-11-47-62-87-55-17-13-36-15-24-83-77-112-22-95-9-58-110-34-26-72-30-49-51-39-108-45-74-19...
1/61 en base 177 = 0,2-159-104-81-43-92-150-156-121-153-139-49-58-5-142-31-162-87-8-124-136-66-130-101-98-116-11-107-63-147===174-17-72-95-133-84-26-20-55-23-37-127-118-171-34-145-14-89-168-52-40-110-46-75-78-60-165-69-113-29...
Et de manière générale en base 55+61n :
[n][49+55n][32+36n][25+28n][13+15n][28+32n][46+52n][48+54n][37+42n][47+53n][43+48n][15+17n][18+20n][1+2n][44+49n][9+11n][50+56n][27+30n][2+3n][38+43n][42+47n][20+23n][40+45n][31+35n][30+34n][36+40n][3+4n][33+37n][19+22n][45+51n]===[54+60n][5+6n][22+25n][29+33n][41+46n][26+29n][8+9n][6+7n][17+19n][7+8n][11+13n][39+44n][36+41n][53+59n][10+12n][45+50n][4+5n][27+31n][52+58n][16+18n][12+14n][34+38n][14+16n][23+26n][24+27n][18+21n][51+57n][21+24n][35+39n][9+10n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-55-36-28-15-32-52-54-42-53-48-17-20-2-49-11-56-30-3-43-47-23-45-35-34-40-4-37-22-51===60-6-25-33-46-29-9-7-19-8-13-44-41-59-12-50-5-31-58-18-14-38-16-26-27-21-57-24-39-10
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Qui est plus simplement égale à série des puissances de 55 modulo 61
Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 10+61n
Constatons que 10x55 admet 1 pour reste dans la division par 61 et qu'ils sont alors inverses dans Z61