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Calcul de 1/61 en base 17+61n
Pourquoi les périodes de n/61 en base 17+61n se regroupent elles en cette série ?
1-17-45-33-12-21-52-30-22-8-14-55-20-35-46-50-57-54-3-51-13-38-36-2-34-29-5-24-42-43===60-44-16-28-49-40-9-31-39-53-47-6-41-26-15-11-4-7-58-10-48-23-25-59-27-32-56-37-19-18
Calculons 1/61 en base 17+61n (17, 78, 139, ...) :
1/61 en base 17 = 0,0-4-12-9-3-5-14-8-6-2-3-15-5-9-12-13-15-15-0-14-3-10-10-0-9-8-1-6-11-11===16-12-4-7-13-11-2-8-10-14-13-1-11-7-4-3-1-1-16-2-13-6-6-16-7-8-15-10-5-5...
1/61 en base 78 = 0,1-21-57-42-15-26-66-38-28-10-17-70-25-44-58-63-72-69-3-65-16-48-46-2-43-37-6-30-53-54===76-56-20-35-62-51-11-39-49-67-60-7-52-33-19-14-5-8-74-12-61-29-31-75-34-40-71-47-24-23...
1/61 en base 139 = 0,2-38-102-75-27-47-118-68-50-18-31-125-45-79-104-113-129-123-6-116-29-86-82-4-77-66-11-54-95-97===136-100-36-63-111-91-20-70-88-120-107-13-93-59-34-25-9-15-132-22-109-52-56-134-61-72-127-84-43-41...
Et de manière générale en base 17+61n :
[n][4+17n][12+45n][9+33n][3+12n][5+21n][14+52n][8+30n][6+22n][2+8n][3+14n][15+55n][5+20n][9+35n][12+46n][13+50n][15+57n][15+54n][3n][14+51n][3+13n][10+38n][10+36n][2n][9+34n][8+29n][1+5n][6+24n][11+42n][11+43n]===[16+60n][12+44n][4+16n][7+28n][13+49n][11+40n][2+9n][8+31n][10+39n][14+53n][13+47n][1+6n][11+41n][7+26n][4+15n][3+11n][1+4n][1+7n][16+58n][2+10n][13+48n][6+23n][6+25n][16+59n][7+27n][8+32n][15+56n][10+37n][5+19n][5+18n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-17-45-33-12-21-52-30-22-8-14-55-20-35-46-50-57-54-3-51-13-38-36-2-34-29-5-24-42-43===60-44-16-28-49-40-9-31-39-53-47-6-41-26-15-11-4-7-58-10-48-23-25-59-27-32-56-37-19-18
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Et qui est plus simplement égale à série des puissances de 17 modulo 61
Calcul de 1/61 en base 18+61n
Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 18+61n La série est alors :
1-18-19-37-56-32-27-59-25-23-48-10-58-7-4-11-15-26-41-6-47-53-39-31-9-40-49-28-16-44===60-43-42-24-5-29-34-2-36-38-13-51-3-54-57-50-46-35-20-55-14-8-22-30-52-21-12-33-45-17
Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 17+61n
Calculons 1/61 en base : 18, 79, 140, ...(18+61n) :
1/61 en base 18 = 0,0-5-5-10-16-9-7-17-7-6-14-2-17-2-1-3-4-7-12-1-13-15-11-9-2-11-14-8-4-12===17-12-12-7-1-8-10-0-10-11-3-15-0-15-16-14-13-10-5-16-4-2-6-8-15-6-3-9-13-5...
1/61 en base 79 = 0,1-23-24-47-72-41-34-76-32-29-62-12-75-9-5-14-19-33-53-7-60-68-50-40-11-51-63-36-20-56===77-55-54-31-6-37-44-2-46-49-16-66-3-69-73-64-59-45-25-71-18-10-28-38-67-27-15-42-58-22...
1/61 en base 140 = 0,2-41-43-84-128-73-61-135-57-52-110-22-133-16-9-25-34-59-94-13-107-121-89-71-20-91-112-64-36-100===137-98-96-55-11-66-78-4-82-87-29-117-6-123-130-114-105-80-45-126-32-18-50-68-119-48-27-75-103-39...
Et de manière générale en base 18+61n :
[n][5+18n][5+19n][10+37n][16+56n][9+32n][7+27n][17+59n][7+25n][6+23n][14+48n][2+10n][17+58n][2+7n][1+4n][3+11n][4+15n][7+26n][12+41n][1+6n][13+47n][15+53n][11+39n][9+31n][2+9n][11+40n][14+49n][8+28n][4+16n][12+44n]===[17+60n][12+43n][12+42n][7+24n][1+5n][8+29n][10+34n][2n][10+36n][11+38n][3+13n][15+51n][3n][15+54n][16+57n][14+50n][13+46n][10+35n][5+20n][16+55n][4+14n][2+8n][6+22n][8+30n][15+52n][6+21n][3+12n][9+33n][13+45n][5+17n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-18-19-37-56-32-27-59-25-23-48-10-58-7-4-11-15-26-41-6-47-53-39-31-9-40-49-28-16-44===60-43-42-24-5-29-34-2-36-38-13-51-3-54-57-50-46-35-20-55-14-8-22-30-52-21-12-33-45-17
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Qui est plus simplement égale à série des puissances de 18 modulo 61
Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 17+61n
Constatons que 17x18 admet 1 pour reste dans la division par 61 et qu'ils sont alors inverses dans Z61