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Calcul de 1/61 en base 26+61n
Pourquoi les périodes de n/61 en base 26+61n se regroupent elles en cette série ?
1-26-5-8-25-40-3-17-15-24-14-59-9-51-45-11-42-55-27-31-13-33-4-43-20-32-39-38-12-7===60-35-56-53-36-21-58-44-46-37-47-2-52-10-16-50-19-6-34-30-48-28-57-18-41-29-22-23-49-54
Calculons 1/61 en base 26+61n (26, 87, 148, ...) :
1/61 en base 26 = 0,0-11-2-3-10-17-1-7-6-10-5-25-3-21-19-4-17-23-11-13-5-14-1-18-8-13-16-16-5-2===25-14-23-22-15-8-24-18-19-15-20-0-22-4-6-21-8-2-14-12-20-11-24-7-17-12-9-9-20-23...
1/61 en base 87 = 0,1-37-7-11-35-57-4-24-21-34-19-84-12-72-64-15-59-78-38-44-18-47-5-61-28-45-55-54-17-9===85-49-79-75-51-29-82-62-65-52-67-2-74-14-22-71-27-8-48-42-68-39-81-25-58-41-31-32-69-77...
1/61 en base 148 = 0,2-63-12-19-60-97-7-41-36-58-33-143-21-123-109-26-101-133-65-75-31-80-9-104-48-77-94-92-29-16===145-84-135-128-87-50-140-106-111-89-114-4-126-24-38-121-46-14-82-72-116-67-138-43-99-70-53-55-118-131...
Et de manière générale en base 26+61n :
[n][11+26n][2+5n][3+8n][10+25n][17+40n][1+3n][7+17n][6+15n][10+24n][5+14n][25+59n][3+9n][21+51n][19+45n][4+11n][17+42n][23+55n][11+27n][13+31n][5+13n][14+33n][1+4n][18+43n][8+20n][13+32n][16+39n][16+38n][5+12n][2+7n]===[25+60n][14+35n][23+56n][22+53n][15+36n][8+21n][24+58n][18+44n][19+46n][15+37n][20+47n][2n][22+52n][4+10n][6+16n][21+50n][8+19n][2+6n][14+34n][12+30n][20+48n][11+28n][24+57n][7+18n][17+41n][12+29n][9+22n][9+23n][20+49n][23+54n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-26-5-8-25-40-3-17-15-24-14-59-9-51-45-11-42-55-27-31-13-33-4-43-20-32-39-38-12-7===60-35-56-53-36-21-58-44-46-37-47-2-52-10-16-50-19-6-34-30-48-28-57-18-41-29-22-23-49-54
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Et qui est plus simplement égale à série des puissances de 26 modulo 61
Calcul de 1/61 en base 54+61n
Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 54+61n La série est alors :
1-54-49-23-22-29-41-18-57-28-48-30-34-6-19-50-16-10-52-2-47-37-46-44-58-21-36-53-56-35===60-7-12-38-39-32-20-43-4-33-13-31-27-55-42-11-45-51-9-59-14-24-15-17-3-40-25-8-5-26
Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 26+61n
Calculons 1/61 en base : 54, 115, 176, ...(54+61n) :
1/61 en base 54 = 0,0-47-43-20-19-25-36-15-50-24-42-26-30-5-16-44-14-8-46-1-41-32-40-38-51-18-31-46-49-30===53-6-10-33-34-28-17-38-3-29-11-27-23-48-37-9-39-45-7-52-12-21-13-15-2-35-22-7-4-23...
1/61 en base 115 = 0,1-101-92-43-41-54-77-33-107-52-90-56-64-11-35-94-30-18-98-3-88-69-86-82-109-39-67-99-105-65===113-13-22-71-73-60-37-81-7-62-24-58-50-103-79-20-84-96-16-111-26-45-28-32-5-75-47-15-9-49...
1/61 en base 176 = 0,2-155-141-66-63-83-118-51-164-80-138-86-98-17-54-144-46-28-150-5-135-106-132-126-167-60-103-152-161-100===173-20-34-109-112-92-57-124-11-95-37-89-77-158-121-31-129-147-25-170-40-69-43-49-8-115-72-23-14-75...
Et de manière générale en base 54+61n :
[n][47+54n][43+49n][20+23n][19+22n][25+29n][36+41n][15+18n][50+57n][24+28n][42+48n][26+30n][30+34n][5+6n][16+19n][44+50n][14+16n][8+10n][46+52n][1+2n][41+47n][32+37n][40+46n][38+44n][51+58n][18+21n][31+36n][46+53n][49+56n][30+35n]===[53+60n][6+7n][10+12n][33+38n][34+39n][28+32n][17+20n][38+43n][3+4n][29+33n][11+13n][27+31n][23+27n][48+55n][37+42n][9+11n][39+45n][45+51n][7+9n][52+59n][12+14n][21+24n][13+15n][15+17n][2+3n][35+40n][22+25n][7+8n][4+5n][23+26n]
Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série
1-54-49-23-22-29-41-18-57-28-48-30-34-6-19-50-16-10-52-2-47-37-46-44-58-21-36-53-56-35===60-7-12-38-39-32-20-43-4-33-13-31-27-55-42-11-45-51-9-59-14-24-15-17-3-40-25-8-5-26
Qui partage le cercle en 61 parties égales
Qui est plus simplement égale à série des puissances de 54 modulo 61
Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 26+61n
Constatons que 26x54 admet 1 pour reste dans la division par 61 et qu'ils sont alors inverses dans Z61