Euclidoscope
(Propositions pour une représentation visuelle des fractions)
Vous ne verrez plus les divisions comme avant.
Comme nous allons le voir, celles-ci peuvent être calculées en base infinie. Trois liens facultatifs: Le programme., Mode d'emploi et Code Source sont destinées à ceux qui veulent approfondir le sujet.
Voici comme pages de présentation, quelques représentations des fractions de 4091:
Vues au travers des bases 2049, 2048, 2047 puis 1900 et 1854.
Euclidoscope est un néologisme issu des mots "Euclide" qui est un nom propre et "Scope" qui vient de la racine grecque qui signifie voir.
Mais reprenons du début, Euclide a résolu sa fameuse division euclidienne de la façon suivante :
On part d'un nombre, le dividende, et (à la condition de bien connaître les tables de multiplication jusqu'à dix) on le divise par un diviseur pour obtenir un quotient et un reste qui deviendra le nouveau dividende après un décalage d'un cran vers la gauche, correspondant à une multiplication par 10 qui est la base de calcul.
Le processus se poursuit jusqu'à ce que le reste soit nul, ce qui bien entendu arrive rarement (le reste est rarement nul, le résultat rarement juste). On obtient la plupart du temps des périodes plus ou moins longues, leur longueur maximale étant égale, mais uniquement pour des nombres premiers, au diviseur moins un.
Première proposition : Pourquoi alors limiter l'étude qui va suivre à la seule base 10 ? Les babyloniens comptaient en base 60 et certaines monnaies ou longueurs utilisaient encore il n'y a pas si longtemps en base 12, la préférée des musiciens amateurs de musique tonale.
Les
possibilités de calcul de la machine se prêtant fort bien à
ce genre d'exercice, pourquoi hésiter à calculer ces fractions
en base 2, 3,
4, 5,
6, 7,
8, 9
ou 10, voire même dans toutes
les bases?
Note:
Les pages en liens ci-dessus occupent une grande partie des 1344 pages de ce
site ayant été générées par une machine.
Deuxième proposition : Cela est possible et même en base infinie. En effet, le phénomène des congruences fait en sorte que le calcul d'une fraction de n/N en base B reproduira le même archétype qu'en base :
B + kN avec k variant de 0 à l'infini.
Pour l'illustrer, prenons l'exemple du calcul de 1/7 en base 3 + 7n, (si n=1 alors on est en base 10). On constate que la figure obtenue est similaire à celle obtenue pour les bases de forme 5 + 7n, car le produit de 3 et 5 admet 1 pour reste dans la division par 7 (3 * 5 = 15), ces deux nombres sont alors inverses modulo 7 (3*5 admet 1 pour reste dans la division par 7).
On constate alors que quelque soit le nombre :
Le calcul des périodes de toutes les fractions d'un dénominateur, dans toutes les bases est possible.
Pour illustrer ceci, voici le mode de lecture de l'euclidoscope pour les nombres premiers.
Constatations issues des deux propositions ci-dessus : Il existe parfois une période unique pour toutes les fractions (Exemple: 1/109 en base 10) d'un nombre N dans une base donnée, et que dans ce cas le nombre est obligatoirement premier. Tous les premiers ont une infinité de bases pour lesquelles cette propriété est vérifiée (mais toutes ne sont pas présentes), la plus petite de ces bases est alors appelé "Graine",et elle accélère alors considérablement le calcul par Exponentiation modulaire , de toutes les bases générant une période unique (un seul calcul de P.G.C.D. permet d'obtenir le résultat).
Elles sont répertoriées sur site pour les premiers inférieurs
à 109, aux adresses suivantes: 3,
5, 7,
11, 13,
17, 19,
23, 29,
31, 37,
41, 43,
47, 53,
59, 61,
67, 71,
73, 79,
83, 89,
97, 101,
103, 107,
109. Et visibles pour les premiers inérieurs
à 5500 par l'euclidoscope (Le programme MINUMI.EXE).
Note:
Les pages en liens ci-dessus occupent une grande partie des 1344 pages de ce
site ayant été générées par une machine.
On
constatera une symétrie de
la disposition des bases à période unique pour les premiers 5,
13, 17, 29,
37, 41, 53,
61, 73, 89,
97, 101 et 109.
Mais une anti-symétrie pour les autres 3,
7, 11, 19,
23, 31, 43,
47, 59, 67,
71, 79, 83,
103 et 107.
La disposition des bases à période unique semble ne jamais être
asymétrique.
Question : Si c'est relativement facile à vérifier, comment le prouver?
La série de figures répertoriée ci-dessus est accessible à l'aide de la touche <Alt> et les flêches du clavier. Cette combinaison force le nombre à être premier, et la base à générer une période unique. La touche <Fin> est une bascule permettant d'observer le nombre dans l'ensemble de ses bases ou pour une base particulière. Lorsque le nombre n'est pas premier, plusieurs calculs de P.G.C.D. consécutifs sont nécessaires pour obtenir la somme de la longueur de toutes les périodes pour une base donnée.
Selon le premier, celui-ci ne génèrera pas le même pourcentage de périodes uniques (en fonction de la base). On pourrait alors inventer deux propriétés émergentes des nombres premiers, résultant de leur comportement face à la division euclidienne dans toutes les bases :
L'
"abondance"
complémentaire de la "résonance"
du premier P.
Qui mesurent
simplement le pourcentage de bases à période unique.
Et qui permettent de classer les premiers par
une relation d'ordre (large).
L'idée ici, est que l'abondance est dépendante de la décomposition de (P - 1) en facteurs premiers. C'est en cela qu'elle est une propriété dépendant du nombre premier et de lui seul, et donc une propriété émergente (une mesure faite sur lui) qui aurait bien besoin d'être étudiée.
Les premiers ont cette étrange propriété de n'être divisible que par 1 et par eux-mêmes, cela en fait des nombres "égoïstes" ne partageant leurs facteurs communs qu'avec eux. Ils auront donc un zéro pointé dans le système de calcul abordé ici :
Qui pourrait décrire une définition de la somme des longueurs de toutes les périodes d'un nombre n dans toutes les bases.
Voici pour exemple, un échantillon de fractions où la période n'est pas unique, on constatera la présence de la jauge en haut à gauche, qui mesure cette somme. Si cette jauge est absente, c'est que le maximun (n-1) est atteind.
Cela nous mène directement au point d'orgue du site :
La résonance de tous les nombres
Elle est
égale à zéro pour les nombres premiers qui ne résonnent
qu'avec eux-même, et monte parfois jusqu'à 2,19 pour 720
visible à l'aide de la touche <Fin>, elle équivaut à
la longueur totale de tous les traits de cette figure, rapportée à
719 au carré.
720 est égal à 2^4 * 3^2 * 5, dont les facteurs premiers sont
trés petits. Les graphes de l'euclidoscope sont alors considérablement
réduits car un grand nombres de bases ont une période courte revisitée
un grand nombre de fois (Voir 720 en base 261 à l'aide du programme Euclidoscope
MINUMI.EXE et le point décimal du pavé numérique, la somme
de toutes les périodes pour cette base est alors égale à
79).
Ce site est une présentation d'un important travail de recherche personnelle en théorie des nombres résumé par les données en téléchargement. Le programme MINUMI.EXE permet, pour la première fois, de visualiser toutes les fractions d'un nombre en une figure synthétique. Et ce, au travers de toutes les bases de 2 à l'infini. Pour le téléchargement, c'est garanti sans virus, ni blagues de toutes sortes.
Observons la forme générale des premières bases :
Ne génère pas de période unique.
Note : Un fait étrange, les bases 4 et 9 semblent extrêmement réticente à l'émergence d'une période unique (en fait, il n'y en a pas mais je reste précautionneux dans mes termes), en serait il de même avec toutes les bases carrées (de forme n^2)? Ces bases n'ont aucun premier et à fortiori aucun nombre générant une période unique !
les applications pratiques en musique.
Un petit texte (18 pages) de théorie musicale.
Quelques "conjectures" en résumé.
Les suggestions pour l'évolution de cet outil seront les bienvenues via :